確率の問題
合格点8問正解／10問中：上級
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A点からB点まで最短距離を移動するときに、P点を通る確率は？
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正解：①
白い碁石が3個、黒い碁石が2個ある。この5つの碁石を、例のように左から順に並べた時、両端に白い碁石が並ぶ確率は？
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正解：②
解説：?????と順番に番号をふる。2つの黒い碁石が何番目に来るか考えると、並び方は全部で 5×4÷2=10通りある。 このうち、両端に白い碁石が来る並び方は、2つの黒い碁石が???のうちの2つに来る時だから、3×2÷2=3通り。 よって、両端に白い碁石が並確率は10分の3。
TOKYOという5文字を並べ替えた時、OOが並ぶ文字列になる確率は？解答を表示する
正解：②
解説：5文字を並べると5×4×3×2×1通りの並べ方があるが、Oが2個あるため、すべての並べ方は（5×4×3×2×1）÷2通りになる。 OとOが並ぶとき、OOを一文字としてPに置き換え計算すれば、TKYPの4文字の全部の並べ方は、（4×3×2×1）通りになる。 よって、TOKYOという5文字を並べ替えた時、OOが並ぶ文字列になる確率は、（4×3×2×1）÷[（5×4×3×2×1）÷2]=2/5になる。
A君、B君、C君の3人がジャンケンをして順位を決めます。3人のうち1位が決まった場合、または3位が決まった場合は、つぎのジャンケンには参加しません。この時、2回目のジャンケンで3人の順位がすべて決まる確率は？ただし、グー、チョキ、パーを出す確率は、3人とも同じとする。解答を表示する
正解：④
解説：1回目のジャンケンでA君、B君、C君のグー、チョキ、パーの出し方は全部で3×3×3=27通り。このうち１人が勝ち、2人が負けるのは3×3=9通り。１人が負け、2人が勝つのも3×3=9通り。よって、1回目のジャンケンで誰かが1位または3位に確定する確率は(9＋9)÷27=2/3。 1回目のジャンケンで誰かが1位または3位に確定した場合、残る2人のグー、チョキ、パーの出し方は全部で3×3=9通り。このうち、2人が引き分けるのは2人ともグー、チョキ、パーのうち同じものを出す場合だから、全部で3通り。よって、2回目のジャンケンで2人の順位が決まる確率は、1−3/9=2/3。 よって、2回目のジャンケンで3人の順位がすべて決まる確率は2/3×2/3=4/9。
箱の中に白い球が４個、赤い球が５個、青い球が３個入っています。Aさんが、続けて３個の玉を箱から取り出した時に、３個とも赤い球である確率は？解答を表示する
正解：①
解説：はじめに赤い球を取る確率は5/12。次に赤い球を取る確率は4/11。３番目に赤い球を取る確率は3/10。よって、３個の玉がいずれも赤い球になる確率は5/12×4/11×3/10= 1/22。
箱の中に白い球が5個、赤い球が4個、青い球が4個入っています。A君、B君、C君の3人が、この順番で1つずつ箱から玉を取り出します。A君が青い球を、B君が白い球を取りだしたとき、C君が青い球を取りだす確率は？解答を表示する
正解：②
解説：A君が青い球を、B君が白い球を取りだしたので、箱に残っている玉は、白い球が4個、赤い球が4個、青い球が3個。 よって、C君が青い球を取りだす確率は3/11。
A君、B君、C君の3人がジャンケンをします。A君は必ずグーを出すと決めています。この時、Ａ君がじゃんけんに勝つ確率は？ただし、グー、チョキ、パーを出す確率は、B君、C君とも同じとします。解答を表示する
正解：③
解説：A君がグーを出すので、Aくんが勝つためにはB君、C君ともチョキを出す必要がある。B君、C君がチョキを出す確率は1/3。Aくんがグーを出して勝つ確率は1/3×1/3 = 1/9。
A点からB点まで、図の線上を、同じ部分を2度通らないように移動する。（遠回りになっても構わない） この時、P点を通る確率は？
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正解：①
解説：A点からB点まで、図の線上を移動するルートは8通り。このうちP点を通るのは6通り。よって、P点を通る確率は6÷8 =3/4。
当たりくじ７枚、ハズレくじ１３枚入った箱があり、同時に３枚ひく時、１枚だけ当たる確率は？解答を表示する
正解：③
クラブが４枚、ダイヤとスペードが３枚ずつで、合計１０枚のトランプがふせてあり、同時に２枚のカードをひく時、ダイヤとスペードが出る確率は？解答を表示する
正解：②
解説：１枚目ダイヤ、２枚目スペードの確率→３／１０×３／９＝１／１０ １枚目スペード、２枚目ダイヤの確率→３／１０×３／９＝１／１０ なので、１／１０＋１／１０＝１／５となる。
AさんとBさんが、それぞれサイコロを振ります。まずAさんがサイコロを振り、つぎにBさんがサイコロを振った時に、Bさんのサイコロの目の数が、Aさんのサイコロの目の数より2以上大きくなる確率は？解答を表示する
正解：①
解説：Aさんがサイコロを振って1を出す確率は1/6。このとき、Bさんのサイコロの目の数が、Aさんのサイコロの目の数より2以上大きくなるのは、Bさんのサイコロの目の数が3、4、5、6の時だから、確率は4/6。同様にAさんのBさんのサイコロの目の数が2の時は、Bさんのサイコロの目の数が2以上大きくなる確率は3/6。 AさんのBさんのサイコロの目の数が3の時は、Bさんのサイコロの目の数が2以上大きくなる確率は2/6。AさんのBさんのサイコロの目の数が4の時は、Bさんのサイコロの目の数が2以上大きくなる確率は1/6。よって、Bさんのサイコロの目の数が、Aさんのサイコロの目の数より2以上大きくなる確率は1/6×（4/6 + 3/6 + 2/6 + 1/6) = 5/18。
一度に3個のサイコロを振った時に、3個のサイコロの目の数がすべて異なる数になる確率は？解答を表示する
正解：②
解説：サイコロの目の出方は6×6×6＝216通りある。このうち、3個とも目の数が異なるのは6×5×4＝120通り。よって、3個とも目の数が異なる確率は120÷216＝5/9。
一度に3個のサイコロを振った時に、3個のサイコロの目の数がすべて連続した数になる確率は？解答を表示する
正解：③
図のように円周を６等分する点がある。この点のうち3点を選び、例のように三角形を作るとすると、その三角形が正三角形になる確率は？
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正解：③
解説：1つの点を角とする三角形は全部で(5×4)÷2＝10通りある。したがって、6個の点のいずれかを角とする三角形は全部で(10×6)÷3＝20個ある。このうち正三角形は△ACEと△BDFの2個のみであるから、三角形が正三角形になる確率は2÷20＝1/10。
箱の中に白い球が6個、赤い球が5個、青い球が4個入っています。箱から3個の玉を取り出した時に、3個とも色が異なる確率は？解答を表示する
正解：②
解説：求める確率は、(6×5×4)÷(15×14×13)＝4/91。
長さが3cmの棒が5本、4cmの棒が6本、5cmの棒が5本あります。この中から3本の棒を無作為に選び三角形を作った時、その三角形が正三角形ではない二等辺三角形になる確率は？解答を表示する
正解：②
解説：3本の棒の選び方は16×15×14通りある。3cmの棒を二等辺とする正三角形ではない二等辺三角形ができるのは5×4×11通りある。同じく、4cmの棒を二等辺とする正三角形ではない二等辺三角形ができるのは6×5×10通り、5cmの棒を二等辺とする正三角形ではない二等辺三角形ができるのは5×4×11通り。 よって、求める確率は《(5×4×11)＋(6×5×10)＋(5×4×11)》÷(16×15×14)＝37/168。
図のＡ点からＢ点に線上を移動する（遠回りになっても構わない）。 このときに、Ｐ点を通らない確率は？ただし、移動の際に同じ点を2回は通らないこととする。
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正解：②
解説：Ａ点からＢ点までの移動の仕方は、同じ点を2回は通らないとすると、全部で8通りある。このうちＰ点を通らないのは2通りのみ。よって、求める確率は2÷8＝1/4。
一度に2個のサイコロを振った時に、２つのサイコロの目の数の差が３以上になる確率は？解答を表示する
正解：①
解説：2つのサイコロの目の出方は全部で6×6＝36通りある。1つのサイコロの目が１の時、サイコロの目の数の差が3以上になるのは、もう一方のサイコロの目が４、５、６の場合である。同様に、1つのサイコロの目が２の時、もう一方のサイコロの目が５、６の場合である。1つのサイコロが３の時は、もう一方のサイコロが６の場合。1つのサイコロが４の時は、もう一方のサイコロが１の場合。1つのサイコロが５の時は、もう一方のサイコロが１、２の場合。1つのサイコロが６の時は、もう一方のサイコロが１、２、３の場合。よって、２つのサイコロの目の数の差が3以上になるのは全部で12通りあり、求める確率は12÷36＝1/3。
Ａさんが1/6の確率で当たるクジを引きます。Ｂさんは1/5の確率で当たるクジを引きます。また、Ｃさんは1/4の確率で当たるクジを引きます。3人のうち1人だけクジに当たり、他の二人はクジにはずれる確率は？解答を表示する
正解：①
解説：Ａさんだけがクジに当たる確率は1/6×4/5×3/4＝1/10。 Ｂさんだけがクジに当たる確率は5/6×1/5×3/4＝1/12。 Ｃさんだけがクジに当たる確率は5/6×4/5×1/4＝1/6。 よって、求める確率は1/10＋1/12＋1/6＝7/20。
箱の中に赤い玉が４個、青い玉が5個、黄色い玉が5個、白い玉が６個入ってます。一度に３個の玉を取り出した時に、３個とも異なった色になる確率は？解答を表示する
正解：③
解説：３個の玉が赤、青、黄になる確率は（4×5×5）/(20×19×18）。同じく、赤、青、白になる確率は（4×5×6）/(20×19×18）。赤、黄、白になる確率も（4×5×6）/(20×19×18）。青、黄、白になる確率（5×5×6）/(20×19×18）。 よって、求める確率は（4×5×5）/(20×19×18）＋（4×5×6）/(20×19×18）＋（4×5×6）/(20×19×18）＋（5×5×6）/(20×19×18）＝49/684。